Limites_Wilder Pedroza_B1_Calculo Diferencial

LIMITES MATEMATICOS 

noviembre 27 del 2020 

   

Hola mi nombre es Wilder Andrés Pedroza Roca, nací en Codazzi - Colombia, el 30 de agosto del 2002. Desde la niñez siempre siempre he vivido en Codazzi porque es un pueblo agradable, comencé a estudiar en el colegio fundación educativa nuestras señora de las flores desde primaria hasta culminar mi bachiller, luego de eso se me presento la oportunidad de estudiar una carrera en la Universidad de la Guajira la carrera que tanto deseaba, porque siempre me destacaba en áreas o asignaturas que conllevaban esta carrera, la cual era Ingeniería Mecánica. Mi pasatiempo es investigar cosas relevantes a lo que esta sucediendo en el mundo, también soy una persona sociable socializarme con los demás y me considero una persona de confianza y razonable.  

OBJETIVOS ESPECIFICOS 

•          Comprender el concepto de límite de una función y las propiedades de los límites.
•          Calcular el límite de una función algebraica utilizando las propiedades de los límites.
•          Graficar funciones asintóticas aplicando límites infinitos y límites al infinito.

INTRODUCCION

En el presente trabajo se estará compartiendo todos los temas referentes al límite, lo cual también tiene que ver con las funciones, uno de los análisis bases para una función es estudiar su continuidad y los valores en el que posiblemente ésta no exista. Por lo tanto, estudiar a la función en entornos reducidos de estos valores y observando el comportamiento de ella misma, es lo que llamamos límites de una función.

El límite de una función nos proporciona información sobre su comportamiento, como por ejemplo sobre su continuidad y las posibles asíntotas.

A continuación en esta página vamos a ver el concepto de límite, las propiedades, las indeterminaciones y algunos procedimientos para poder evitar estas interminaciones, también se harán ejemplos de este tema.

LIMITE DE UNA FUNCION

IDEA INTUITIVA DE LÍMITE

El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0.

Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2 

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda (valores menores que 2) o la derecha (valores mayores que 2) las imágenes se acercan a 4. Se dice que el límite cuando x tiende a 2 de la función f(x) = x2 es 4.

Se dice que el límite cuando x tiende a 2 de la función f(x) = x2 es 4

 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

 1.   LÍMITE DE UNA FUNCION CONSTANTE

Para cualquier numero en "a"

 2. LIMITE DE UNA POTENCIA

para cualquier entero positivo en "n"  

3. LÍMITE DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN

4. LÍMITE DE UNA SUMA O DIFERENCIA 

5. LÍMITE DE UN PRODUCTO

 

6. LÍMITE DE UN COCIENTE

7. LÍMITE DE UN LOGARITMO

si > 0 y f(x) < 0

8. LÍMITE DE UNA RAÍZ 

si n es par, limite de f(x) debe ser positivo 

DEFINICIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L, cuando x tiende a x0, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición |x - x0| < δ , se cumple que |f(x) - L| <ε.

También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:

si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio, existe un entorno de x0 , Eδ(x0) , cuyos elementos (sin contar x0), tienen sus imágenes dentro del entorno de L , Eε(L). 

LIMITES UNILATERALES

Existen algunas funciones que solo pueden tener un límite llamado unilateral, ya sea cuando la variable “x” se aproxima al valor de a pero que estos sean mayores o cuando la variable “x” se aproxima al valor de “a” pero que estos sean menores.

A. LIMITE UNILATERAL POR LA DERECHA

Se lee

El límite de f(x) cuando “x” se aproxima por la derecha de “a” es L

B. LIMITE UNILATERAL POR LA IZQUIERDA

Se lee

El límite de f(x) cuando “x” se aproxima por la izquierda de “a” es L

Se dice que una función tiene límite bilateral, si el limite unilateral por la derecha es igual al límite unilateral por la izquierda.

Ejemplo:  

En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x tiende a 2 es 4. 

El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2. Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa lo que sucede en dicho punto sino a su alrededor. 

LIMITES INFINITOS

Existen algunas funciones racionales que al tratar de evaluar si tienen límites cuando “x” se aproxima a un valor “a”, resulta que la función crece o decrece sin límite. En este caso se dice que el límite de la función es infinito y se representa con el símbolo “∞”.

Ejemplo: 

Dado que los limites unilaterales tienen signos distintos, Si los signos de los límites unilaterales resultan negativos se pone “-∞”y si fueran positivos se ponen“+∞”.

CALCULO DEL LÍMITE EN UN PUNTO

Si f(x) es una función (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.

CALCULO DEL LÍMITE EN UNA FUNCIÓN DEFINIDA A TROZOS

En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos. Si coinciden, este es el valor del límite. Si no coinciden, el límite no existe

 

Ejemplo: 

Para resolver este límite tenemos que sustituir la x por cero, pero ¿en cuál de los tres tramos?

 

Ahora sustituimos la x por cero y obtenemos el valor del límite cuando x tiende a cero

Vamos  a calcular ahora el límite de la función cuando x tiende a 4

La función está definida para mayores iguales o mayores que 2 en el tercer tramo, por tanto, es ese tramo el que tenemos que elegir en este caso para calcular el límite

pues tenemos que elegir el tramo en el cual está definida la función para x=0, es decir, el primer tramo, que está definido para valores menores que 1

Ahora sólo nos queda sustituir la x por 4 y obtenemos la solución del límite

ASINTOTAS

ASINTOTAS HORIZONTALES

Si se cumple que

 Y=K  es una asíntota horizontal 

 Ejemplo:

 Calcular las asíntotas horizontales de la función:

ASINTOTAS VERTICALES

Si se cumple que

X=K es una asíntota vertical 

Los valores de K hay que buscarlos entre los puntos que no pertenecen al dominio de la función

Ejemplo:

Calcular las asíntotas horizontales y verticales de la función:

ASÍNTOTAS OBLICUAS

 Tienen la forma de  y = mx + n

Sólo hallaremos las asíntotas oblicuas cuando no haya asíntotas horizontales.

Ejemplo:

Calcular las asíntotas de la función:

Asíntotas horizontales
  

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas verticales 

Asíntotas oblicuas

OPERACIONES CON INFINITO: INDETERMINACIONES

INFINITO MAS UN NUMERO

INFINITO MAS INFINITO

 INFINITO MENOS INFINITO

INFINITO POR UN NÚMERO

INFINITO POR INFINITO

INFINITO POR CERO

CERO PARTIDO POR UN NUMERO

UN NUMERO PARTIDO POR CERO

UN NUMERO PARTIDO POR INFINITO

INFINITO PARTIDO POR UN NUMERO

CERO PARTIDO POR INFINITO

CERO PARTIDO POR CERO

INFINITO PARTIDO POR INFINITO

UN NÚMERO ELEVADO A CERO

CERO ELEVADO A CERO

INFINITO ELEVADO A CERO

CERO ELEVADO A UN NÚMERO

UN NUMERO ELEVADO A INFINITO

CERO ELEVADO A INFINITO

INFINITO ELEVADO A INFINITO

UNO ELEVADO A INFINITO

No distinguimos entre +∞ y -∞ para no alargar excesivamente la lista. Nos basta con saber: La regla de los signos y que a-n = 1/a n

LIMITES CON FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Los limites con funciones trigonométricas siempre pueden encontrarse por sustitución y los límites de funciones racionales pueden encontrarse por sustitución, siempre y cuando el denominador no sea cero en el punto límite. Esta regla de sustitución se aplica también a las funciones trigonométricas.

Ejemplo:

MAPA CONCEPTUAL

CONCLUSION

• Se concluye, dejando claro el concepto de limite que es la base fundamental con que se construye el cálculo, hablando se dice que el límite es el valor al que tiende una función cuando una una variable independiente tiende a un determinado número o al infinito.
• La importancia de las reglas básicas para comprobar, si un límite es continuo o discontinuo, aportando grandemente a la lógica macetica en el pensamiento de los estudiantes de calculo. Si una función es continua, entonces sus límites por la derecha y por la izquierda son los mismos.
• Este block se hace con el fin de de que todas las personas tengan un conocimiento claro acerca de lo que es el limite y todo lo que conlleva, para que así se les facilite este tema para sus futuros lo cual es muy importante. 

HIPERVINCULO

https://www.matematicasonline.es/pdf/Temas/1BachCT/Limite%20de%20una%20funcion.pdf